第十五讲：微分方程

第15讲：微分方程

一、概念

未知函数及其导数（或者微分）与自变量之间的关系的方程称为微分方程。

F[x, y, y', \ldots, y^{(n)}] = 0

称为 ​ n 阶微分方程。

1. 常微分方程

未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。

y dx - (x + \sqrt{x^2 + y^2}) dy = 0

2. 线性微分方程

a_n(x) y^{n} + a_{n-1}(x) y^{n-1} + \cdots + a_0(x) y = f(x)

称为 ​n 阶线性微分方程。（​ y^{n} 都是一次）

  • 若 ​ a_n(x) 为常数，称为常系数线性微分方程。
  • 若 ​ f(x) = 0 ，称为齐次线性微分方差，否则称为非齐次线性微分方程。

3. 解的概念

将函数代入微分方程，使方程成为恒等式，称该函数为微分方程的解。解的图称为积分曲线。

4. 通解

微分方程的解中的独立常数的个数等于阶数，称为通解。

5. 特解

确定通解中常数的条件是初始条件，如 ​ y(x_0) = a_0 ，​ y'(x_0) = a_1 ，… （初始条件可以限制解的个数）

确定通解中的常数后，解就成为了特解。

二、方程求解

1. 可直接分离变量

\frac{dy}{dx} = f(x) g(y) \Rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx

2. 换元后可分离

\frac{dy}{dx} = f(ax + by + c)

令 ​ u = ax + by + c ，则 ​ \frac{du}{dx} = a + b \frac{dy}{dx} ，即 ​ \frac{du}{dx} = a + b f(u)

3. 齐次形

\frac{dy}{dx} = P\left(\frac{y}{x}\right)

令 ​ u = \frac{y}{x} ，则 ​ y = ux \Rightarrow \frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx} ， ​ \frac{du}{f(u)-u} = \frac{dx}{x}

4. 一阶线性微分方程

y' + p(x)y = q(x)

通解为：

y = e^{-\int p(x) dx} \left[ \int e^{\int p(x) dx} q(x) dx + C \right]

5. 伯努利方程

\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^n \quad (n \neq 0, 1)

令 ​ z = y^{1-n} ，则：

z' = (1-n)y^{-n}y'

原方程变为：

z' + (1-n)p(x)z = (1-n)q(x)

6. 二阶可降解微分方程

\begin{aligned} & y^{\prime\prime}=f(x,y^{\prime})\text{，令} y^{\prime}=p,y^{\prime\prime}=p^{\prime} \text{,原方程变为一阶方程}\frac{dp}{dx}=f(x,p) \\ & y^{\prime\prime}=f(y^{\prime}) \text{，方法同上} \\ & y^{\prime\prime}=f(y,y^{\prime})\text{，令} y^{\prime}=p\quad y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdotp\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdotp p \text{,原方程变为一阶方程}p\cdotp\frac{dp}{dx}=f(y,p)\\ \end{aligned}

7.全微分方程

​P(x,y), Q(x,y)在连通域D上具有一阶连续偏导，且​\frac{∂Q}{∂x}=\frac{∂P}{∂y}，

则​pdx+qdy是u(x,y)$的全微分.

称​P(x,y)dy+Q(x,y)dx=0为全微分方程

三、高阶线性微分方程

1. 二阶常系数齐次线性微分方程

y'' + py' + qy = 0

若 ​ y_1(x) 和 ​ y_2(x) 为两个特解，且 ​ \frac{y_1(x)}{y_2(x)} \neq C ，则 ​ y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) 为通解。

寻找通解

对于 ​ y'' + py' + qy = 0 ，特征根方程为 ​ r^2 + pr + q = 0 （代入 ​ y = e^{rx} ）

  • ​ p^2 - 4q > 0 ：两个实根 ​ r_1, r_2
y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}
  • ​ p^2 - 4q = 0 ：重根 ​ r
y = (C_1 + C_2 x) e^{rx}
  • ​ p^2 - 4q < 0 ：共轭复根 ​ \alpha \pm \pu \beta i
y = e^{\alpha x} \left[ C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x) \right]

上述解落可以推广至​n阶。

2.二阶常系数非齐次线性微分方程

y'' + py' + qy = f(x)
  • 若 ​ y_1(x) 是 ​ y'' + py' + qy = f_1(x) 的解，​ y_2(x) 是 ​ y'' + py' + qy = f_2(x) 的解，则 ​ y_1(x) + y_2(x) 是 ​ y'' + py' + qy = f_1(x) + f_2(x) 的解。
  • 若 ​ y_1(x), y_2(x) 都是 ​ y'' + py' + qy = f(x) 的特解，则 ​ y_1(x) - y_2(x) 是 ​ y'' + py' + qy = 0 的解。

待定系数法

对于 ​ y'' + py' + qy = f(x)

  • 若 ​ f(x) = P_n(x) e^{ax} ，特解为 ​ y^* = Q_n(x) e^{ax} x^{k}，其中 ​ k = \begin{cases} 0, \\ 1,\\ 2, \end{cases} ​k为​a齐次方程特征根相等的个数
  • 若 ​ f(x) = [P_m(x) \cos(\beta x) + P_n(x) \sin(\beta x)] e^{ax}，特解为 ​ y^* = [Q_l(x) \cos(\beta x) + Q_l(x)\sin(\beta x)] e^{ax}x^{k} ， k = \begin{cases} 0, a \pm \beta i不是特征根\\ 1, \end{cases}，l=max\{m,n\}

3. 欧拉方程

x^2 y'' + px y' + qy = f(x)

若​x>0,则令 ​ x = e^t ，则：

\frac{d^2y}{dt^2} + (p-1) \frac{dy}{dt} + qy = f(e^t)

若​x<0,则令 ​ x = -e^t

四、微分算子法

记 ​ D = \frac{d}{dx} ，​ D^2 = \frac{d^2}{dx^2} ，​ Dy = \frac{dy}{dx} ，​ D^2 y = \frac{d^2y}{dx^2} ，​ \frac{1}{D} = \int dx ，​ \frac{1}{D} f(x) = \int f(x) dx

​y'' + py' + qy = f(x) 记 ​ F(D) = D^2 + pD + q ，特解为 ​ y^* = \frac{1}{F(D)} f(x)

1. ​ \frac{1}{F(D)} e^{ax} 型

  • 若 ​ F(D)|_{D=a} \neq 0 ，则 ​ y^* = \frac{1}{F(D)|_{D=a}} e^{ax}
  • 若 ​ F(D)|_{D=a} = 0 ，​ F'(D)|_{D=a} \neq 0 ，则 ​ y^* = \frac{x}{F'(D)|_{D=a}} e^{ax}
  • 若 ​ F(D)|_{D=a} = F'(D)|_{D=a} = 0 ，​ F''(D)|_{D=a} \neq 0 ，则 ​ y^* = \frac{x^2}{F''(D)|_{D=a}} e^{ax}

2. ​ \frac{1}{D^2 + q} \cos(\beta x) 或 ​ \frac{1}{D^2 + q} \sin(\beta x) 型

\begin{aligned} & \text{若}(D^{2}+q)|_{D=pi}\neq0,\quad\text{则}y^{2}=\frac{1}{(D^{2}+q)|_{D=\beta i}}\cos\beta x\text{ 或}\sin\beta x \\ & \text{若}(D^{2}+q)|_{D=pi}=0,\quad\text{则}y^{*}=\frac{x}{(D^{2}+q)'}\cos\beta x\text{ 或}\sin\beta x(\text{不代值，其中}\frac{1}{D}\text{代表积分}) \end{aligned}

3. ​ \frac{1}{F(D)} \cos(\beta x) 或 ​ \frac{1}{F(D)} \sin(\beta x) 型

\begin{aligned} & F(D)|_{p^{2}=(\beta i)^{2}}=pD+q-\beta^{2}(\text{D不代值}) \\ & y^{*}=\frac{1}{f(D)}|_{{D^{2}}=-\beta^{2}}\cos\beta x,\text{然后通过变化,将分母的D变成D}^{2},\text{进行计算} \end{aligned}

4. ​ \frac{1}{F(D)} (x^k + a_1 x^{k-1} + \cdots + a_k) 型

\begin{aligned} y^{*} & =\frac{1}{F(D)}(x^k + a_1 x^{k-1} + \cdots + a_k)=a_{k}(D)(x^{k}+\cdots+a_{k}) \\ a_{k}(D) & \text{是将}\frac{1}{F(D)}\text{借助泰勒多项式写成 }b_{0}+b_{1}D+\cdots+b_{k}D^{k}. \\ (\frac{1}{1+x} & =1-x+x^{2}+\cdots) \end{aligned}

5. ​ \frac{1}{F(D)} e^{ax} v(x) 型

y^* = e^{ax} \frac{1}{F(D+a)} v(x)
#高等数学
#高等数学
第十五讲：微分方程
http://localhost:8090//archives/di-shi-wu-jiang-wei-fen-fang-cheng
作者
ZephyrSky
发布于
2025年03月30日
许可协议